题目内容

【题目】设椭圆,定义椭圆的“相关圆”方程为.若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合,且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.

(1)求椭圆的方程和“相关圆”的方程;

(2)过“相关圆”上任意一点的直线与椭圆交于两点.为坐标原点,若,证明原点到直线的距离是定值,并求的取值范围.

【答案】1)椭圆的方程为相关圆的方程为;(2.

【解析】

(1)由已知条件计算出椭圆的方程和“相关圆”的方程

2)直线与椭圆相交,联立方程组,由求出之间关系,然后再表示出点到线的距离公式,即可求出结果

解:(1)因为若抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合,所以,又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形,所以

故椭圆的方程为,“相关圆”的方程为

(2)设

联立方程组

由条件,

所以原点到直线的距离是

为定值

又圆心到直线的距离为,直线与圆有公共点,满足条件

,即,∴

,即,所以,即

综上,

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