题目内容
【题目】已知平面上动点P到定点的距离比P到直线
的距离大1.记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点的直线
交曲线C于A、B两点,点A关于x轴的对称点是D,证明:直线
恒过点F.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)先分析出点P在直线的右侧,然后利用抛物线的定义写出方程即可
(2)设出直线的方程和A、B两点坐标,联立方程求出
的范围和A、B两点纵坐标之和和积,写出直线
的方程,然后利用前面得到的关系化简即可.
(1)不难发现,点P在直线的右侧,
∴P到的距离等于P到直线
的距离.
∴P的轨迹为以为焦点,以
为准线的抛物线,
∴曲线C的方程为.
(2)设直线的方程为
,
联立,得
,
,解得
或
.
∴,
.
又点A关于x轴的对称点为D,
则直线的方程为
即
令,得
.
∴直线恒过定点
,而点
.
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