Question

已知函数f(x)＝x³－ax＋1.
(1)求x＝1时，f(x)取得极值，求a的值；
(2)求f(x)在[0,1]上的最小值；
(3)若对任意m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，求a的取值范围．

Answer 1

（1）1   （2）见解析   （3）(－∞，－1)

(1)因为f′(x)＝x²－a，
当x＝1时，f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1.
又当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1符合题意．
(2)当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0,1)成立，
所以f(x)在[0,1]上单调递增，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1，
当a＞0时，令f′(x)＝x²－a＝0，x₁＝－，x₂＝，
当0＜a＜1时，＜1，
x∈(0，)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
x∈(，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝处取得最小值f()＝1－.
当a≥1时，≥1，
x∈[0,1]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－a.
综上所述，
当a≤0时，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1；
当0＜a＜1时，f(x)在x＝处取得最小值f()＝1－；
当a≥1时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－a.
(3)因为?m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，
所以f′(x)＝x²－a≠－1对x∈R成立，
只要f′(x)＝x²－a的最小值大于－1即可，
而f′(x)＝x²－a的最小值为f(0)＝－a，
所以－a＞－1，即a＜1.
所以a的取值范围是(－∞，－1)．