题目内容
(本小题满分12分)如图四棱锥的底面是正方形,,点E在棱PB上,O为AC与BD的交点。
(1)求证:平面;
(2)当E为PB中点时,求证://平面PDA,//平面PDC。
(3)当且E为PB的中点时,求与平面所成的角的大小。
(1)求证:平面;
(2)当E为PB中点时,求证://平面PDA,//平面PDC。
(3)当且E为PB的中点时,求与平面所成的角的大小。
(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
∵,
∴PD⊥AC,
∴AC⊥平面PDB,
又平面AEC
∴平面.
(2)∵四边形ABCD是正方形,,在中,又
//,又
//平面PDA,同理可证//平面PDC。
(3)∵,,又
所以,可以D为坐标原点建立如图的空间直角坐标系D-xyz。设AB=1.则
D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,),
从而,,,
设平面PBC的一个法向量为。由得
令z=1,得。设AE与平面PBC所成的角,则
与平面PBC所成的角的正弦值为。
∵,
∴PD⊥AC,
∴AC⊥平面PDB,
又平面AEC
∴平面.
(2)∵四边形ABCD是正方形,,在中,又
//,又
//平面PDA,同理可证//平面PDC。
(3)∵,,又
所以,可以D为坐标原点建立如图的空间直角坐标系D-xyz。设AB=1.则
D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,),
从而,,,
设平面PBC的一个法向量为。由得
令z=1,得。设AE与平面PBC所成的角,则
与平面PBC所成的角的正弦值为。
略
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