题目内容
(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-中,,D,E分别为BC,的中点,的中点,四边形是边长为6的正方形.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)求二面角的余弦值.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)求二面角的余弦值.
(1)证明:连结,与交于O点,连结OD.
因为O,D分别为和BC的中点,
所以OD//。
又OD, ,
所以.…………………………4分
(2)证明:在直三棱柱中,
,
所以.
因为为BC中点,
所以又,
所以.
又
因为四边形为正方形,D,E分别为BC,的中点,
所以.
所以. 所以
………………………………8分
(3)解:如图,以的中点G为原点,建立空间直角坐标系,
则A(0,6,4),E(3,3,0) ,C(-3,6,0) ,.
由(Ⅱ)知为平面的一个法向量。
设为平面的一个法向量,
由
令,则.
所以.
从而.
因为二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为.……………………12分
因为O,D分别为和BC的中点,
所以OD//。
又OD, ,
所以.…………………………4分
(2)证明:在直三棱柱中,
,
所以.
因为为BC中点,
所以又,
所以.
又
因为四边形为正方形,D,E分别为BC,的中点,
所以.
所以. 所以
………………………………8分
(3)解:如图,以的中点G为原点,建立空间直角坐标系,
则A(0,6,4),E(3,3,0) ,C(-3,6,0) ,.
由(Ⅱ)知为平面的一个法向量。
设为平面的一个法向量,
由
令,则.
所以.
从而.
因为二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为.……………………12分
略
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