题目内容
【题目】已知函数(其中
为常数,
为自然对数的底数,)
(1)若对任意,不等式
恒成立,求实数
的取值集合,
(2)已知正数满足:存在
,使不等式
成立.
①求的取值集合;
②试比较与
的大小,并证明你的结论.
【答案】(1);(2)①
;②见解析.
【解析】
(1)求出函数的导数,由题意知
,可知
,进而可求得实数
的值;
(2)①由题意可知,存在使得不等式
成立,构造函数
,利用导数求出函数
在区间
上的最小值,即可得出实数
的取值集合;
②构造函数,其中
,利用导数判断函数
在区间
上的单调性,可得出
与
的大小关系,进而可得出
与
的大小关系.
(1),则
且
,
由于对任意,不等式
恒成立,即
,
.
当时,对任意
,
,此时,函数
在
上为增函数,无最小值,不合乎题意;
当时,令
,得
.
若,则
;若
,则
.
所以,函数在
处取得极小值,亦即最小值,所以,
,因此,
;
(2)①由题意知,存在使得不等式
,则
,
构造函数,其中
,则
,
对任意的
恒成立,
所以,函数在区间
上单调递增,则
,
.
因此,实数的取值集合为
;
②构造函数,其中
,则
,
所以,函数在区间
上单调递减.
当时,则
;
当时,则
,即
,即
,则
.
综上所述,当时,则
;当
时,
.
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