Question

【题目】三棱柱的主视图和俯视图如图所示（图中一格为单位正方形），D、D1分别为棱AC和A1C1的中点.

（1）求侧（左）视图的面积，并证明平面A1ACC1⊥平面B1BDD1

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）8，证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据三视图判定面面垂直关系并证明，然后计算侧视图的面积；

（2）建立空间直角坐标系利用向量的坐标表示求二面角的大小.

解：（1）由视图可知，侧面A1ACC1⊥底面ABC，BD⊥AC

因为BD底面ABC，AC=侧面A1ACC1底面ABC

所以BD⊥侧面A1ACC1

因为BD平面B1BDD1

所以平面B1BDD1⊥侧面A1ACC1

侧视图为矩形，长就是棱柱的高，宽为BD的长，所以面积S=4×2=8

（2）由（1）可知，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz

各点坐标为A(2，0，0)， D(0，0，0)， B(0，2，0)， C(-2，0，0)， A1(1，0，4)， D1(-1，0，4)， C1(-3，0，4)

B1(-1，2，4)

设平面A1BD的法向量为，则有：

=0

令，可得

设平面B1BD的法向量为，则有：

=0

令，可得，

设二面角的大小为，则有