题目内容
【题目】数列满足:
(1)求的值;
(2)求证:数列是等差数列,并求数列
的通项公式;
(3)设假设
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
,
;(2)证明见详解,
;(3)
.
【解析】
(1)根据递推公式,进行赋值即可求得;
(2)根据等差数列的定义,用其后一项减去前一项,证明其为常数即可;
(3)先根据利用裂项求和求得
,再将恒成立问题转化为二次函数恒成立问题即可.
(1)因为
故可得
因为,根据
,可解的
;
由,可得
则,
综上:,
,
.
(2)证明:由(1)知:
故,
故数列是首项为-4,公差为-1的等差数列,即证.
故,解得
.
(3)由(2)知,因为
,
故可得
故
故,又
故恒成立,等价于
恒成立,即
恒成立,即
恒成立.
令,
.
当时,
恒成立,满足题意;
当时,由二次函数的性质可知,显然不成立;
当时,对称轴
故在
单调递减,要满足题意,只需
即可,即
,解得
,
又因为,故
.
综上当时,
恒成立.
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