题目内容
【题目】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
【答案】f(x)=-4x2+4x+7.
【解析】
(解法1:利用一般式)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),解得
∴所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.
(解法2:利用顶点式)设f(x)=a(x-m)2+n,∵f(2)=f(-1),∴抛物线对称轴为x==
,即m=
;又根据题意,函数最大值ymax=8,
∴n=8,∴f(x)=a2+8.∵f(2)=-1,∴a
+8=-1,解得a=-4.
∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7.
(解法3:利用两根式)由题意知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,即=8,解得a=-4或a=0(舍),∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2-(-4)x-2×(-4)-1=-4x2+4x+7
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