题目内容

9.已知$\underset{lim}{n→∞}$(2n+1)an=1,求$\underset{lim}{n→∞}$nan

分析 通过$\underset{lim}{n→∞}$(2n+1)的极限不存在及$\underset{lim}{n→∞}$(2n+1)an=1可知$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{a}_{n}}$的极限也不存在,利用洛必达法则计算可知$\underset{lim}{n→∞}$$(\frac{1}{{a}_{n}})′$=2,进而计算可得结论.

解答 解:∵$\underset{lim}{n→∞}$(2n+1)an=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2n+1}{\frac{1}{{a}_{n}}}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2}{(\frac{1}{{a}_{n}})′}$
=$\frac{2}{\underset{lim}{n→∞}(\frac{1}{{a}_{n}})′}$
=1,
∴$\underset{lim}{n→∞}$$(\frac{1}{{a}_{n}})′$=2,
∴$\underset{lim}{n→∞}$nan=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n}{\frac{1}{{a}_{n}}}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{(\frac{1}{{a}_{n}})′}$
=$\frac{1}{\underset{lim}{n→∞}(\frac{1}{{a}_{n}})′}$
=$\frac{1}{2}$.

点评 本题考查数列极限及其运算,利用洛必达法则是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.

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