题目内容
【题目】已知函数 ,且f(1)=1,f(﹣2)=4.
(1)求a、b的值;
(2)已知定点A(1,0),设点P(x,y)是函数y=f(x)(x<﹣1)图象上的任意一点,求|AP|的最小值,并求此时点P的坐标;
(3)当x∈[1,2]时,不等式 恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:由f(1)=1,f(﹣2)=4.
得
解得:
(2)解:由(1) ,
所以 ,
令x+1=t,t<0,
则
=
因为x<﹣1,所以t<0,
所以,当 ,
所以 ,
即AP的最小值是 ,此时
,
点P的坐标是 .
(3)解:问题即为 对x∈[1,2]恒成立,
也就是 对x∈[1,2]恒成立,
要使问题有意义,0<m<1或m>2.
法一:在0<m<1或m>2下,问题化为 对x∈[1,2]恒成立,
即 对x∈[1,2]恒成立,mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1,2]恒成立,
①当x=1时, 或m>2,
②当x≠1时, 且
对x∈(1,2]恒成立,
对于 对x∈(1,2]恒成立,等价于
,
令t=x+1,x∈(1,2],则x=t﹣1,t∈(2,3], ,t∈(2,3]递增,
∴ ,
,结合0<m<1或m>2,
∴m>2
对于 对x∈(1,2]恒成立,等价于
令t=x﹣1,x∈(1,2],则x=t+1,t∈(0,1],
,t∈(0,1]递减,
∴ ,
∴m≤4,
∴0<m<1或2<m≤4,
综上:2<m≤4(16分)
法二:问题即为 对x∈[1,2]恒成立,
也就是 对x∈[1,2]恒成立,
要使问题有意义,0<m<1或m>2.
故问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1,2]恒成立,
令g(x)=x|x﹣m|
①若0<m<1时,由于x∈[1,2],故g(x)=x(x﹣m)=x2﹣mx,g(x)在x∈[1,2]时单调递增,
依题意g(2)≤m, ,舍去;
②若m>2,由于x∈[1,2],故 ,
考虑到 ,再分两种情形:
(ⅰ) ,即2<m≤4,g(x)的最大值是
,
依题意 ,即m≤4,
∴2<m≤4;
(ⅱ) ,即m>4,g(x)在x∈[1,2]时单调递增,
故g(2)≤m,
∴2(m﹣2)≤m,
∴m≤4,舍去.
综上可得,2<m≤4
【解析】(1)由f(1)=1,f(﹣2)=4,代入可方程,解方程即可求得关于a,b的解a,b;(2)由(1)可知 ,利用两点间的距离个公式代入
,结合x的范围可求x+1=t<0,然后结合基本不等式式即可求解(3)问题即为
对x∈[1,2]恒成立,即
对x∈[1,2]恒成立,则0<m<1或m>2.法一:问题化为
对x∈[1,2]恒成立,mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1,2]恒成立,从而可转化为求解函数的最值,利用函数的单调性即可求解法二:问题即为
对x∈[1,2]恒成立,即
对x∈[1,2]恒成立,0<m<1或m>2.问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1,2]恒成立,令g(x)=x|x﹣m|,结合函数的性质可求
