Question

【题目】已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2经过椭圆Γ： + =1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，

令y=0，得F（2，0），即c=2，

令x=0，得B（0，2），即b=2，

∴a2=b2+c2=8，

∴椭圆Γ的方程为： ．

（2）解：设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，

则

=

=（1，1）（x0，y0）

=x0+y0，

又 ，

设b=x0+y0，与 联立，得：

，

令△≥0，得16b2﹣12（12b2﹣8）≥0，

解得﹣2 ．

又点Q（x0，y0）在第一象限，

∴当 时， 取最大值2 ．

【解析】（1）在圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，令y=0，得F（2，0），令x=0，得B（0，2），由此能求出椭圆方程．（2）设点Q（x0 ， y0），x0＞0，y0＞0，则 = =x0+y0 ， 又 ，设b=x0+y0 ， 与 联立，得： ，由此能求出 的最大值．