题目内容
【题目】设常数.
(1)若在
处取得极小值为
,求
和
的值;
(2)对于任意给定的正实数、
,证明:存在实数
,当
时,
.
【答案】(1).(2)见解析
【解析】试题分析:(1)本问考查极值点导数为,根据极值点导数为0,对函数求导, ,
,
,再根据
,可以求出
的值;(2)本问考查存在性问题的证明,主要是将问题进行转化,
,记
,故只需证明:存在实数
,当
时,
,而
,设
,通过证明得到恒有
.即当
时, 恒有
成立.
试题解析:(1)
,
∵,∴
.
将代入得
当时,
,
递减;
时,
,
递增;
故当时,
取极小值
,
令,解得
.
(Ⅱ)因为,
记,故只需证明:存在实数
,当
时,
,
[方法1] ,
设,则
.
易知当时,
,故
.
又由解得:
,即
取,则当
时, 恒有
.
即当时, 恒有
成立.
[方法2] 由,得:
,
故是区间
上的增函数.令
,
则,因为
,
故有,
令,解得:
,
设是满足上述条件的最小正整数,取
,则当
时, 恒有
,
即成立.
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