Question

20．当实数k变化时，对于方程（2^|x|-1）²-（2^|x|-1）-k=0的解的判断不正确的是（　　）

• A． $k＜-\frac{1}{4}$时，无解
• B． $k=-\frac{1}{4}$时，有2个解
• C． $-\frac{1}{4}＜k≤0$时，有4个解
• D． k＞0时，有2个解

Answer 1

分析 令令t=2^|x|-1，则t∈[0，+∞），方程即k=t²-t∈[-$\frac{1}{4}$，+∞），再利用二次函数的性质判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：令t=2^|x|-1，则t∈[0，+∞），
方程即 t²-t-k=0，即 k=t²-t．
由于t²-t=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≥-$\frac{1}{4}$，
当t=$\frac{1}{2}$时，取得最小值-$\frac{1}{4}$，
当k＜-$\frac{1}{4}$时，方程无解，故A正确；
当k=-$\frac{1}{4}$时，方程有两解，且为x=±log₂$\frac{3}{2}$，故B正确；
当k＞0时，方程t²-t-k=0的判别式△=1+4k＞0，两根异号，
则方程有两解，故D正确；
当k=0时，方程即为t²-t=0，求得t=0，或t=1，
此时x=0或±1，有三个解，故C不正确．
故选C．

点评 本题主要考查方程根的存在性及个数的判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．