Question

2．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别是a、b、c．
（1）若sin（A+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}sinA$，求A的值；
（2）若cosA=$\frac{1}{2}$，sinB+sinC=2sinA，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦函数公式化简已知可得cos（A+$\frac{π}{4}$）=0，解得范围0＜A＜π，即可解得A的值．
（2）由正弦定理可得：b+c=2a，①由cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），解得：A=$\frac{π}{3}$，由正弦定理可得：sinB+sinC=$\sqrt{3}$，③由余弦定理可得：a²=b²+c²-bc，②，由①②可解得：sin²A=sinBsinC=$\frac{3}{4}$，④
由③④解得：sinB=sinC=sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即A=B=C=$\frac{π}{3}$，从而得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵sin（A+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosA=$\sqrt{2}sinA$，
∴解得：cos（A+$\frac{π}{4}$）=0，
∵0＜A＜π，$\frac{π}{4}$＜A+$\frac{π}{4}$＜$\frac{5π}{4}$，
∴解得：A+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{4}$…7分
（2）∵sinB+sinC=2sinA，
∴由正弦定理可得：b+c=2a，①
∵cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），解得：A=$\frac{π}{3}$，由①可得sinB+sinC=$\sqrt{3}$，③
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，②
∴由①②可解得：a²=bc，由正弦定理可得：sin²A=sinBsinC=$\frac{3}{4}$，④
∴由③④解得：sinB=sinC=sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即A=B=C=$\frac{π}{3}$，
故△ABC为等边三角形…14分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．