Question

【题目】已知椭圆 （a＞b＞0）上一点与它的左、右两个焦点F1 ， F2的距离之和为2 ，且它的离心率与双曲线x2﹣y2=2的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），AF1的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C．
①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；
②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）由椭圆的定义知2a=2 ，

双曲线x2﹣y2=2的离心率为 ，

故椭圆 的离心率e= ，

故a= ，c=1，b=1；

故椭圆的方程为 +y2=1；

（2）①证明：设A（xA，yA），B（xB，yB），则C（﹣xA，﹣yA），

设直线BA的方程为y=k（x+1），

联立方程 化简得，

（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，

∴xA+xB=﹣ ，

yA+yB=k（xA+xB）+2k=k（﹣ +2）=k ，

∴kABkBC=k = =﹣ ；

②当直线AB的斜率不存在时，

可知A（﹣1， ），B（﹣1，﹣ ），C（1，﹣ ），

故S△ABC= ，

当直线AB的斜率存在时，由①知，

xA+xB=﹣ ，xAxB= ，

故|xA﹣xB|=

=2 ，

故|AB|= |xA﹣xB|

=2 ，

点C到直线AB的距离d= = ，

故S△ABC= （2 ）

=2

=2 ＜ ，

故△ABC面积的最大值为 ，此时AB的方程为x+1=0．

【解析】（1）易知2a=2 ，e= ，从而解得；（2）①设A（xA ， yA），B（xB ， yB），则C（﹣xA ， ﹣yA），从而设直线BA的方程为y=k（x+1），联立方程化简（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，从而可得xA+xB=﹣ ，yA+yB=k ，从而证明．②分情况讨论以分别确定△ABC的面积的取值范围，从而解得．