题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，四边形
为梯形， 
，且
， 
是边长为2的正三角形，顶点
在
上的射影为点
，且
， 
， 
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1） 取
的中点为
，连接
利用直角三角形的性质，可分别求出
的值，由勾股定理得
．可得
面
，可证平面
平面
；（2）以
所在直线为
轴， 
所在直线为
轴，过点
作平面
的垂线为
轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角与二面角的夹角的关系，可求二面角的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）证明：由顶点
在
上投影为点
，可知， 
．
取
的中点为
，连结
， 
．
在
中， 
， 
，所以
．
在
中， 
， 
，所以
．
所以， 
，即
．
∵ 
∴
面
．
又
面
，所以面
面
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 
， 
，且
所以 
面
，且
面
．以
所在直线为
轴， 
所在直线为
轴，点
作平面
的垂线为
轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
， 
， 
，
设平面
， 
的法向量分别为
，则
，则
，
，则
，
，
所以二面角
的余弦值为
．
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