题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,四边形
为梯形,
,且
,
是边长为2的正三角形,顶点
在
上的射影为点
,且
,
,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1) 取的中点为
,连接
利用直角三角形的性质,可分别求出
的值,由勾股定理得
.可得
面
,可证平面
平面
;(2)以
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,过点
作平面
的垂线为
轴,建立空间直角坐标系,写出各点坐标,求出两个半平面的法向量,利用法向量的夹角与二面角的夹角的关系,可求二面角的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)证明:由顶点在
上投影为点
,可知,
.
取的中点为
,连结
,
.
在中,
,
,所以
.
在中,
,
,所以
.
所以, ,即
.
∵
∴面
.
又面
,所以面
面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,
,且
所以 面
,且
面
.以
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,点
作平面
的垂线为
轴,建立空间直角坐标系,如图所示:
,
,
,
设平面,
的法向量分别为
,则
,则
,
,则
,
,
所以二面角的余弦值为
.
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