Question

【题目】已知分别是椭圆 的长轴与短轴的一个端点， 分别是椭圆的左、右焦点， 椭圆上的一点， 的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若是圆上任一点，过点作椭圆的切线，切点分别为，求证： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题意求解即可；

（2）讨论切线的斜率不存在或为零时和点切线斜率存在且不为零时，设切线的方程为的方程为，分析条件可得是方程的两个根，利用韦达定理可得进而证得结论成立.

试题解析：

(1)由的周长为，得，由，得，又.故椭圆的方程为.

(2) ① 当切线的斜率不存在或为零时，此时取，显然直线与直线恰是椭圆的两条切线.由圆及椭圆的对称性，可知.

②点切线斜率存在且不为零时，设切线的方程为的方程为，由，消，得，

与椭圆相切， .

.即；同理：切线中， ， 是方程的两个根，又在圆上， .

综上所述： .