Question

【题目】设函数f（x）=aex﹣x﹣1，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln ＞ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，则f（x）=ex﹣x﹣1，f'（x）=ex﹣1；
令f'（x）=0，得x=0；
∴当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；
当x≥0时，f'（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增；
即a=1时，f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调赠区间为[0，+∞）；
（Ⅱ）∵ex＞0；
∴f（x）＞0恒成立，等价于 恒成立；
设 ，x∈（0，+∞）， ；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0；
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减；
∴x∈（0，+∞）时，g（x）＜g（0）=1；
∴a≥1；
∴a的取值范围为[1，+∞）；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，+∞）时， 等价于ex﹣xex﹣1＞0；
设h（x）=ex﹣xex﹣1，x∈（0，+∞）， ；
由（Ⅱ）知，x∈（0，+∞）时，ex﹣x﹣1＞0恒成立；
∴ ；
∴h′（x）＞0；
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0；
因此当x∈（0，+∞）时， ．
【解析】（Ⅰ）a=1时得出f（x），进而得到f′（x）=ex﹣1，这样便可判断导数符号，根据符号即可得出f（x）的单调区间；（Ⅱ）可以由f（x）＞0恒成立得到 恒成立，这样设 ，求导，根据导数符号便可判断g（x）在（0，+∞）上单调递减，这便可得到g（x）＜1，从而便可得出a的取值范围；（Ⅲ）容易得到 等价于ex﹣xex﹣1＞0，可设h（x）=ex﹣xex﹣1，求导数，并根据上面的f（x）＞0可判断出导数h′（x）＞0，从而得到h（x）＞h（0）=0，这样即可得出要证明的结论．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．