题目内容
【题目】已知圆,定点
,
为圆上任意一点,线段
的垂直平分线
和半径
相交于点
,当点
在圆上运动时,点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若过定点的直线交曲线
于不同的两点
,
(点
在点
,
之间),且满足
,求
的取值范围.
【答案】(1).(2)
【解析】
(1)由点在线段
的垂直平分线上,得到
,根据椭圆的定义,即可求得曲线
的方程;
(2)当直线斜率不存在时,求得
;当直线
斜率存在时,设直线方程为
,代入椭圆方程,利用根与系数的关系,以及向量的运算,即可求解.
(1)由题意,点在线段
的垂直平分线上,则有
,
可得,
由椭圆的定义,可得点的轨迹为以
,
为焦点的椭圆,
且椭圆长轴长为,焦距为
,所以
,
,
又由,所以曲线
的方程为
.
(2)当直线斜率不存在时,方程为
,由
,得
;
当直线斜率存在时,设直线方程为
,
代入椭圆方程,整理得
,
由已知得,解得
,
设,
,则
,
,
又由,得
,即
,
所以,
由,得
,解得
,
又由,得
.
综上,的取值范围是
.
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