题目内容
【题目】已知椭圆的短轴长为4,离心率为
,斜率不为0的直线l与椭圆恒交于A,B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点M.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线l是否过定点,如果过定点,求出该定点的坐标;如果不过定点,请说明理由.
【答案】(1);(2)直线过定点
.
【解析】
(1)由题可知,
,再结合
,即可求出
的值,从而得出椭圆的标准方程;
(2)因为直线l斜率不为,所以设直线l:x=ty+m,联立直线方程和椭圆方程,利用根与系数的关系得
,
,
,再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点
,可得
0,从而求出
,即可得出定点坐标.
(1)由题,
,
所以椭圆的标准方程为.
(2)由题设直线:
,
,
联立直线方程和椭圆方程,得
,
∴,
,
.
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点,
所以,
整理得或
,
又当时,直线
过椭圆右定点,此时直线
与直线
不可能垂直,
∴,
∴直线过定点.
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