题目内容
【题目】已知椭圆
的短轴长为4，离心率为
，斜率不为0的直线l与椭圆恒交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点M．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l是否过定点，如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）直线过定点
．
【解析】
（1）由题可知
，
，再结合
，即可求出
的值，从而得出椭圆的标准方程；
（2）因为直线l斜率不为
，所以设直线l：x＝ty+m，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得
，
，
，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点
，可得
0，从而求出
，即可得出定点坐标．
（1）由题，
，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由题设直线
：
，
，
联立直线方程和椭圆方程
，得
，
∴，，．
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，
所以
，
整理得
或
，
又当
时，直线过椭圆右定点，此时直线
与直线
不可能垂直，
∴
，
∴直线过定点．
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