Question

19．已知函数f（x）=nlnx-mx+m，m，n∈R
（1）证明：曲线y=f（x）必经过过定点（1，0）；
（2）若曲线y=f（x）与x轴相切，证明 m=n．

Answer 1

分析 （1）证明f（1）=0即可；
（2）由题可知，f（x）与x轴相切，即（1，0）点为其切点，即可证明．

解答 证明：（1）f（x）=nlnx-（x-1）m
令x=1，得f（1）=nln1-（1-1）m=0
由n，m∈R，则f（x）恒过（1，0）点
（2）由（1）可知，f（x）过（1，0）点，恰好是x轴上的．
由f'（x）=$\frac{x}{n}$-m可知，当f'（x）=0时，即切线与x轴平行时，
可得$\frac{x}{n}$-m=0，x=$\frac{n}{m}$．
由题可知，f（x）与x轴相切，即（1，0）点为其切点．
则令x=1，则$\frac{n}{m}$=1，可得m=n．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．