Question

11．已知在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若asin（$\frac{π}{2}$+C），bsin（$\frac{π}{2}$-B），csin（$\frac{π}{2}$-A）依次成等差数列．
（1）求角B；
（2）如果△ABC的外接圆的面积为π，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用asin（$\frac{π}{2}$+C），bsin（$\frac{π}{2}$+B），csin（$\frac{π}{2}$+A）依次成等差数列，结合正弦定理，即可求出角B；
（2）由△ABC的外接圆的面积为π，求出半径，利用正弦定理可得b，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）∵asin（$\frac{π}{2}$+C），bsin（$\frac{π}{2}$+B），csin（$\frac{π}{2}$+A）依次成等差数列，
∴asin（$\frac{π}{2}$+C）+csin（$\frac{π}{2}$+A）=2bsin（$\frac{π}{2}$+B），
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
∴sin（A+C）=2sinBcosB，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）∵△ABC的外接圆的面积为π，
∴r=1，
∴b=2rsinB=$\sqrt{3}$，
∴3=a²+c²-2accosB≥ac，
当且仅当a=c时，取等号，即ac的最大值为3，
∴△ABC面积的最大值为$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．