Question

14．已知直线l：x-my-1=0（m≠0）经过抛物线y²=2px（p≠0）的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．
（1）求实数p的值，并用m表示|AB|；
（2）设线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，求证：|AB|：|FN|为定值．

Answer 1

分析 （1）由直线系方程求出直线所过定点，得到抛物线焦点F的坐标，则p值可求，代入抛物线方程，和直线方程联立后利用抛物线的弦长公式求得|AB|；
（2）由（1）得到线段AB的中点坐标，进一步求得线段AB的垂直平分线方程，取y=0求得N的坐标，得到|FN|，则由|AB|：|FN|=$\frac{4（{m}^{2}+1）}{2（{m}^{2}+1）}=2$得结论．

解答 （1）解：∵直线l：x-my-1=0（m≠0）过定点（1，0），
∴$\frac{p}{2}=1$，p=2．
∴抛物线方程为y²=4x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-my-1=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得x²-（4m²+2）x+1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=4{m}^{2}+2$．
则|AB|=${x}_{1}+{x}_{2}+p=4{m}^{2}+2+2=4（{m}^{2}+1）$；
（2）证明：由${x}_{1}+{x}_{2}=4{m}^{2}+2$，得${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{1}{m}（{x}_{1}+{x}_{2}-2）=\frac{1}{m}（4{m}^{2}+2-2）$=4m．
∴线段AB的中点坐标为（2m²+1，2m），
∴线段AB的垂直平分线方程为y-2m=-m（x-2m²-1），
取y=0，得x=2m²+3．
即N（2m²+3，0），
∴|FN|=2m²+3-1=2（m²+1）．
则|AB|：|FN|=$\frac{4（{m}^{2}+1）}{2（{m}^{2}+1）}=2$为定值．

点评 本题主要考查了抛物线的应用，考查抛物线的几何性质．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力，是中档题．