题目内容
【题目】己知函数(
是常数,且
).
(1)讨论函数的单调区间;
(2)当在
处取得极值时,若关于
的方程
在
上恰有两个不相等的实数根,求实数
的取值范围;
(3)求证:当,
时,
.
【答案】(1)单调递减区间为,单调递增区间是
;
(2)实数的取值范围为
;
(3)证明见详解;
【解析】
(1)先求导,再根据导数与函数的单调性的关系即可得到.
(2)在
处取得极值,可得
,解得
,关于
的方程
化为
,令
(
),利用导数研究单调性极值与最值,关于
的方程
在
上恰有两个不相等的实数根,必须满足
解得即可.
(3)由(1)和(2)可知当时,
,即
,可得当
时,
,令
,则
,利用“累加法求和”、对数的运算性质、放缩、“裂项求和”即可证出.
(1)
若,则
,
若,则
,
的单调递减区间为
,单调递增区间是
.
(2)在
处取得极值,
,解得
,
,
关于的方程
化为
,
令(
),
,
令,解得
或
,
令,解得
,此时函数
单调递增,
令,解得
,此时函数
单调递减,
关于
的方程
在
上恰有两个不相等的实数根,
则,即
,解得
,
实数
的取值范围为
.
(3)由(1)和(2)可知,当时,
,即
,
当
时,
,
令,则
,
依次取,
累加求和可得
,
当时,
,
,
,
当
,
时,
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某企业生产一种产品,从流水线上随机抽取件产品,统计其质量指标值并绘制频率分布直方图(如图1):规定产品的质量指标值在
的为劣质品,在
的为优等品,在
的为特优品,销售时劣质品每件亏损
元,优等品每件盈利
元,特优品每件盈利
元,以这
件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率.
(1)求每件产品的平均销售利润;
(2)该企业主管部门为了解企业年营销费用(单位:万元)对年销售量
(单位:万件)的影响,对该企业近
年的年营销费用
和年销售量
,
数据做了初步处理,得到的散点图(如图2)及一些统计量的值.
表中,
,
,
.
根据散点图判断,可以作为年销售量
(万件)关于年营销费用
(万元)的回归方程.
①求关于
的回归方程;
②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费,才能使得该企业的年收益的预报值达到最大?(收益销售利润
营销费用,取
)
附:对于一组数据,
,
,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.