题目内容
【题目】已知数列的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列
前
项和为
,且满足
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列前
项和
;
(3)在数列中,是否存在连续的三项
,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足条件的正整数
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)在数列
中,仅存在连续的三项
,按原来的顺序成等差数列,此时正整数
的值为1.
【解析】
试题(1)显然要分奇偶求解,用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求解;(2)同(1)要按奇偶分别求和,即求的也就是分奇偶后的前n项和;(3)先假设存在这样的连续三项按原来的顺序成等差数列,即假设 ,则
,然后代入通项公式得
,显然不成立;再假设
,则
,然后代入通项公式得
,解此方程要构造新的方程,即令
,
,故
,只有
,则仅存在连续的三项
合题意.
试题解析:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为
,
则,
,
又,
,解得
,
∴对于,有
,
故.
(2).
(3)在数列中,仅存在连续的三项
,按原来的顺序成等差数列,此时正整数
的值为1,下面说明理由.
若,则由
,得
,
化简得,此式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立.
若,则由
,得
,
化简得.
令,则
.
因此,,故只有
,此时
.
综上,在数列中,仅存在连续的三项
,按原来的顺序成等差数列,此时正整数
的值为1
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