Question

【题目】已知A，B是抛物线C：y2＝4x上两点，线段AB的垂直平分线与x轴有唯一的交点P（x0，0）．

（1）求证：x0＞2；

（2）若直线AB过抛物线C的焦点F，且|AB|＝10，求|PF|．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5

【解析】

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），有，，用点差法，两式相减得，有，得到线段AB的垂直平分线方程为，再令y＝0求解.

（2）由抛物线的弦长公式有|AB|＝x1+x2+p＝10，得到x1+x2＝8，再由求解.

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），

由，，两式相减得，

即，∴，

∴线段AB的垂直平分线方程为，

令y＝0，∵x1≠x2，∴y1+y2≠0，得，

∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，

∴x1+x2＞0，∴x0＞2．

（2）∵|AB|＝x1+x2+p＝10，

∴x1+x2＝8，

∴．