Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2x+2．
（1）求f（x）单调区间
（2）求f（x）在区间[ ，3]上的最大值和最小值；
（3）若g（x）=f（x）﹣mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的对称轴是x=1，故函数f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增
（2）解：∵f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[ ，3]，

∴f（x）的最小值是f（1）=1，f（x）的最大值是f（3）=5，

即f（x）在区间[ ，3]上的最大值是5，最小值是1

（3）解：∵g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+2）x+2

，∴ ≤2，或 ≥4，

解得m≤2或m≥6，

故m的取值范围是（﹣∞，2]∪[6，+∞）

【解析】（1）求出函数 的对称轴，从而求出函数 的单调区间即可；（2）根据f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[ ，3]，再利用二次函数的性质求得f（x）在区间[ ，3]上的最值即可；（3）根据g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+2）x+2在[2，4]上是单调函数，可得 ≤2，或 ≥4，由此求得m的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．