题目内容
13．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=0，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为135°，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为120°，|$\overrightarrow{c}$|=2，则|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{b}$|=1+$\sqrt{3}$．分析 由已知$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=0，可知三个向量首尾相接后，构成一个三角形，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为135°，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为120°，可以得到三角形的两个内角和一边的长，利用正弦定理，可求出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$对应边的长度．
解答 
解：∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=0，
∴三个向量首尾相接后，构成一个三角形
且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为135°，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为120°，|$\overrightarrow{c}$|=2，
故所得三角形如下图示：
其中∠C=45°，∠A=60°，AB=2
∴|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{ABsinA}{sinC}=\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}$；
|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{ABsinB}{sinC}=\frac{2sin75°}{sin45°}$=1+$\sqrt{3}$；
故答案为：$\sqrt{6}；1+\sqrt{3}$．
点评 本题考查了向量的三角形法则的运用以及利用正弦定理求三角形的边长．关键是明确三个向量的位置关系．
