题目内容

20.设命题p:“直线x+y-m=0与圆(x-1)2+y2=1不相交”,命题q:“mx2-x-4=0有一正根和一负根.”如果p∨q为真且p∧q为假,求m的取值范围.

分析 对命题P:直线x+y-m=0与圆(x-1)2+y2=1不相交,可得圆心到直线的距离与半径的关系:$\frac{|1+0-m|}{\sqrt{2}}$≥1,解出m的取值范围.对命题q:则又题意得m≠0,△=1+16m>0,$\frac{-4}{m}$<0,解得m范围.由于p∨q为真且p∧q为假,可知P与q有且只有一个命题为真命题.求出即可.

解答 解:对命题P:直线x+y-m=0与圆(x-1)2+y2=1不相交,∴$\frac{|1+0-m|}{\sqrt{2}}$≥1,解得$m>1+\sqrt{2}$或m<1-$\sqrt{2}$.
p为真命题时m的取值范围是:A=$\{m|m<1-\sqrt{2}或m>1+\sqrt{2}\}$.
对命题q:则由题意得m≠0,△=1+16m>0,$\frac{-4}{m}$<0,解得m>0.
q为真命题时m的取值范围是:B={m|m>0}.
∵p∨q为真且p∧q为假,
可知P与q有且只有一个命题为真命题.
若P假q真时,∁RA∩B={m|m$<1-\sqrt{2}$};
若P真q假时,A∩∁RB={m|$0<m≤1+\sqrt{2}$},
综述:m的取值范围是:{m|m$<1-\sqrt{2}$或$0<m≤1+\sqrt{2}$}.

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、直线与圆的位置关系、一元二次方程有实数根的充要条件,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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