题目内容
17．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角等于120°，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角等于15°，|$\overrightarrow{c}$|=3，则|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$．分析 把向量放在三角形中，根据向量的夹角与三角形的角的关系，转化为解三角形问题求解．
解答 
解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，
∴令$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{CB}$，
∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角等于120°，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角等于15°
∴∠A=180°-120°=60°，∠C=180°-150°=30°，
∴三角形为直角三角形，
$\frac{|AB|}{|BC|}$=tan30°=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∵|BC|=|$\overrightarrow{c}$|=3，
∴|AB|=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．
点评 本题考查向量在几何中的应用、向量的模，数量积表示两个向量的夹角，解直角三角形，学生运用画图确定解决问题的方法，属于中档题．
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