Question

【题目】已知动点M（x，y）到直线l：x=3的距离是它到点D（1，0）的距离的 倍．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C上一动点T满足： =2λ +3μ ，其中P、Q是轨迹C上的点，且直线OP与OQ的斜率之积为﹣ ．若N（λ，μ）为一动点，F1（﹣ ，0）、F2（ ，0）为两定点，求|NF1|+|NF2|的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设M（x，y），则M到直线l的距离为|x﹣3|，MD= ，

∴|x﹣3|= ，化简得 ，

∴动点M的轨迹C的方程为 ．

（2）解：设P（ cosα， sinα），Q（ cosβ， sinβ），

则kOP= ，kOQ= ，∴kOPkOQ= =﹣ ，

∴sinαsinβ+cosαcosβ=0，

∵ =2λ +3μ ，∴T（2 λcosα+3 μcosβ，2 λsinα+3 μsinβ），

∵T在曲线C 上，

∴2（2 λcosα+3 μcosβ）2+3（2 λsinα+3 μsinβ）2=6，

化简得4λ2+9μ2=1，即 ，

∴N（λ，μ）点轨迹方程为 ，

F1（﹣ ，0）、F2（ ，0）为此椭圆的两个焦点，

∴|NF1|+|NF2=2 =1．

【解析】（1）设M（x，y），用x，y表示出距离，列方程化简即可；（2）设P（ cosα， sinα），Q（ cosβ， sinβ），表示出T点坐标，代入曲线C的方程化简可得N的轨迹方程，利用椭圆的性质得出定值．