Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足a1=1，anan+1=2Sn ， 设bn= ，若存在正整数p，q（p＜q），使得b1 ， bp ， bq成等差数列，则p+q= ．

Answer 1

【答案】5
【解析】解：数列{an}满足a1=1，anan+1=2Sn ， ∴n=1时，a1a2=2S1=2a1 ， 解得a2=2．n≥2时，2an=2（Sn﹣Sn﹣1）=an（an+1﹣an﹣1），∵an≠0，∴an+1﹣an﹣1=2． ∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，∴an=1+n﹣1=n．
∴bn= = ．
∵存在正整数p，q（p＜q），使得b1 ， bp ， bq成等差数列，
∴2bp=b1+bq ， ∴ = （*）．
∵数列{bn}是单调递减数列．
当p=1时，由 + ，解得q=1，舍去．
当2≤p＜q时， ， ﹣ = ．
当3≤p时， ≥ ， ＞0，∴ + ，（*）不成立．
∴p=2，可得： = + ，解得q=3．
∴p+q=5．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)．