Question

【题目】设f（x）=ex﹣e﹣x﹣x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）已知g（x）=x2f（x）+（x+1）[f（x）+（1﹣a）x]+（1﹣a）x3 ． 若对所有x≥0，都有g（x）≥0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex+e﹣x﹣1≥2 ﹣1=2﹣1=1＞0，

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．

（2）解：g（x）=x2f（x）+（x+1）[f（x）+（1﹣a）x]+（1﹣a）x3．

=（x2+x+1）f（x）+（1﹣a）[x3+x（x+1）]

=（x2+x+1）[f（x）+x（1﹣a）]，

显然x2+x+1＞0，故若使g（x）≥0，只需要f（x）+x（1﹣a）=ex﹣e﹣x﹣ax≥0即可，

令h（x）=ex﹣e﹣x﹣ax，

∴h′（x）=ex+e﹣x﹣a≥2 ﹣a=2﹣a，

①当2﹣a≥0时，即a≤2时，h′（x）≥0恒成立，

∴h（x）在[0，+∞）上为增函数，

∴h（x）≥h（0）=0，

即g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，

②当a＞2时，则令h′（x）=0，即ex+e﹣x﹣a=0，可化为（ex）2﹣aex+1=0，

解得ex=

∴两根x1=ln =ln ＜0，舍去，x2=ln ＞0，

从而h′（x）= = ，

当0＜x＜x2时，则 ，ex＜ ，

∴h′（x）＜0，

∴h（x）在[0，x2]为减函数，

又h（0）=0，

∴h（x2）＜0，

∴当a＞2时，h（x）≥0不恒成立，即g（x）≥0不恒成立，

综上所述a的取值范围为（﹣∞，2]．

【解析】（1）先求导，再根据基本不等式即可判断f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，（2）先化简g（x），再利用分析法，故若使g（x）≥0，只需要f（x）+x（1﹣a）=ex﹣e﹣x﹣ax≥0即可，构造函数h（x）=ex﹣e﹣x﹣ax，求导后，再分类讨论，求出函数的最值，即可得到参数的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．