题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,平面
平面
,
,
分别为棱
的中点.
(1)求证: ;
(2)求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)连接,易证
,结合平面
平面
可知
平面
,∴
,又
,∴
平面
,从而得证;(2)先证明
两两垂直,分别以
方向为
轴,
轴,
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
,求出平面
与平面
的法向量的坐标,代入公式,即可得到所成的锐二面角的余弦值
试题解析:
(1)连接.
∵,
∴是等边三角形.
又为棱
的中点,∴
.
∵平面平面
,平面
平面
,
平面
.
∴平面
.
∵平面
,∴
.
∵,
∴是菱形.
∴.
又分别为
的中点,
∴,∴
.
又,∴
平面
.
又平面
,∴
.
(2)连接,
∵,
∴为正三角形.
∵为
的中点,∴
.
又∵平面平面
,
且平面平面
,
平面
,
∴平面
.
∵两两垂直,
∴分别以方向为
轴,
轴,
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
.
设.
设平面的一个法向量为
,
由,
令,得
.即
.
由(1),知平面
,
∴平面的一个法向量为
.
设平面与平面
所成的锐二面角大小为
,
则,
即平面与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目