题目内容
【题目】已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线斜率为1,求函数
的单调区间;
(2)若时,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)在
上单调递增;(2)
.
【解析】试题分析:(1)求出,由
,∴
,令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2)
时,
恒成立等价于
恒成立,讨论
、
,两种情况,分别利用导数研究函数的单调性,求出函数的最小值,解不等式即可的结果.
试题解析:(1)∵ ,∴
,∴
,
∴ ,记
,∴
,
当时,
,
单减;
当时,
,
单增,
∴,
故恒成立,所以
在
上单调递增
(2)∵,令
,∴
,
当时,
,∴
在
上单增,∴
.
ⅰ)当即
时,
恒成立,即
,∴
在
上单增,
∴,
,所以
.
ⅱ)当即
时,∵
在
上单增,且
,
当 时,
,
∴使
,即
.
当时,
,即
单减;
当时,
,即
单增.
∴
,
∴,
,由
,∴
.
记,
∴,∴
在
上单调递增,
∴,∴
.
综上.
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