题目内容
【题目】已知椭圆和直线
:
,椭圆的离心率
,坐标原点到直线
的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知定点,若直线
过点
且与椭圆相交于
两点,试判断是否存在直线
,使以
为直径的圆过点
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(I);(II)
或
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据椭圆中的 ,以及
,和点到直线的距离公式计算求得
;(Ⅱ)分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论,当斜率存在时,设直线为
与椭圆方程联立,利用根与系数的关系计算
,从而求得斜率
和直线方程.
试题解析:(Ⅰ)由直线,∴
,即
——①
又由,得
,即
,又∵
,∴
——②
将②代入①得,即,∴
,
,
,
∴所求椭圆方程是;
(Ⅱ)①当直线的斜率不存在时,直线
方程为
,
则直线与椭圆的交点为
,又∵
,
∴,即以
为直径的圆过点
;
②当直线的斜率存在时,设直线
方程为
,
,
,
由,得
,
由,得
或
,
∴,
,
∴
∵以为直径的圆过点
,∴
,即
,
由,
,
得,∴
,
∴,解得
,即
;
综上所述,当以为直径的圆过定点
时,直线
的方程为
或
.
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