题目内容
【题目】某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品,每年每人只要交少量保费,发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为A、B、C三类工种,根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表(并以此估计赔付概率).
工种类别 | A | B | C |
赔付频率 |
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(Ⅰ)根据规定,该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%,试分别确定各类工种每张保单保费的上限;
(Ⅱ)某企业共有职工20000人,从事三类工种的人数分布比例如图,老板准备为全体职工每人购买一份此种保险,并以(Ⅰ)中计算的各类保险上限购买,试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.
【答案】解:(Ⅰ)设工种A的每份保单保费为a元,设保险公司每单的收益为随机变量X,
则X的分布列为:
X | a | a﹣50×104 |
P | 1﹣ |
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保险公司期望收益为 =a﹣5
根据规则a﹣5≤0.2a
解得a≤6.25元,
设工种B的每份保单保费为b元,赔付金期望值为 元,
则保险公司期望利润为b﹣10元,根据规则b﹣10≤0.2b,解得b≤12.5元,
设工种C的每份保单保费为c元,赔付金期望值为 元,
则保险公司期望利润为c﹣50元,根据规则c﹣50≤0.2c,解得c≤62.5元.
(Ⅱ)购买A类产品的份数为20000×60%=12000份,
购买B类产品的份数为20000×30%=6000份,
购买C类产品的份数为20000×10%=2000份,
企业支付的总保费为12000×6.25+6000×12.5+2000×62.5=275000元,
保险公司在这宗交易中的期望利润为275000×20%=55000元.
【解析】(Ⅰ)设工种A的每份保单保费为a元,设保险公司每单的收益为随机变量X,求出X的分布列和保险公司期望收益,根据规则a﹣5≤0.2a,从而a≤6.25元,设工种B的每份保单保费为b元,求出赔付金期望值为10元,则保险公司期望利润为b﹣10元,根据规则b﹣10≤0.2b,解得b≤12.5元,设工种C的每份保单保费为c元,求出赔付金期望值为50元,则保险公司期望利润为c﹣50元,根据规则c﹣50≤0.2c,解得c≤62.5元.(Ⅱ)购买A类产品的份数为12000份,购买B类产品的份数为6000份,购买C类产品的份数为2000份,由此能求出保险公司在这宗交易中的期望利润.
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识,掌握在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列.