题目内容
【题目】已知椭圆
： 
（
）的焦距为
，点
在
上.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设点
在
上，点
的轨迹为曲线
，过原点作直线
与曲线
交于
、
两点，点
，证明： 
为定值，并求出定值.
【答案】（1）
（2）3
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知：c=
，根据椭圆定义可求得a，根据b2=a2-c2可得b；（Ⅱ）分直线
的斜率为0，不为0两种情况进行讨论：当直线
的斜率为0时直接按照向量数量积运算即可；当直线
的斜率不为0时，设直线
的方程为： 
， 
， 
．联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的一元二次方程，由韦达定理及向量数量积公式代入运算可得结论；
试题解析：
（Ⅰ）由已知得
，解得
， 
椭圆
的方程为
.
（Ⅱ）由条件可得
， 
曲线
的方程为
.
当直线
的斜率不存在时，不妨设
， 
，则
， 
， 
；
当直线
的斜率存在时，设其方程为
，可设点
， 
，
则
， 
， 
，
把点
代入曲线
的方程
得
， 
.
综上可知， 
.
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【题目】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下列表：
喜爱打篮球 | 不喜爱打篮球 | 合计 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合计 | 50 |
已知在全班50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为
．
（1）请将上表补充完整（不用写计算过程）；
（2）能否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．
下面的临界值表供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式： 
，其中
）
