题目内容
【题目】已知点是长轴长为的椭圆: 上异于顶点的一个动点, 为坐标原点, 为椭圆的右顶点,点为线段的中点,且直线与的斜率之积恒为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点,线段的垂直平分线与轴交于点,点横坐标的取值范围是,求的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(1)利用斜率公式化简条件:直线与的斜率之积恒为 ,变形成椭圆标准方程形式,即得结果,(2)将直线方程与椭圆方程联立,结合韦达定理以及弦长公式可得关于直线斜率的函数关系式,再根据中点坐标公式列出线段的垂直平分线,并求与轴交点横坐标,根据点横坐标的取值范围,确定直线斜率取值范围,最后根据直线斜率取值范围确定的最小值.
试题解析:(Ⅰ)∵椭圆的长轴长为,∴.
设,
∵直线与的斜率之积恒为,∴,
∴,∴,
故椭圆的方程为.
(Ⅱ) 设直线方程为,代入有,
设, 中点,
∴.
∴
∴的垂直平分线方程为,
令,得
∵,∴,∴.
,
.
练习册系列答案
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【题目】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了如下列表:
喜爱打篮球 | 不喜爱打篮球 | 合计 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合计 | 50 |
已知在全班50人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上表补充完整(不用写计算过程);
(2)能否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由.
下面的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式: ,其中)