题目内容

4.有以下命题:
①对任意的α∈R都有sin3α=3sinα-4sin3α成立;
②对任意的△ABC都有等式a=bcosC+ccosB成立;
③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一;
④若A,B是钝角△ABC的二锐角,则sinA+sinB<cosA+cosB.
其中正确的命题的个数是(  )
A.4B.3C.2D.1

分析 ①通过sin3α=sin(α+2α)、利用二倍角公式及平方关系化简可知正确;②利用正弦定理化简可知正确;③假设存在正整数k、k+1、k-1分别为三角形ABC的三边长,
且其对应的角分别为A、B、C,利用三角形内角和可知36°<C<45°,利用正弦定理化简可知cosC=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{k-1}$,进而求出不等式$\frac{\sqrt{2}}{2}$<$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{k-1}$<$\frac{\sqrt{3}}{2}$的正整数解并检验即得结论;④通过A、B是钝角△ABC的二锐角可知0°<B<90°-A<90°,进而sinB<sin(90°-A)=cosB,同理cosA>cos(90°-B)=sinA,整理即得结论.

解答 解:①对任意的α∈R都有sin3α=sin(α+2α)
=sinαcos2α+cosαsin2α
=sinα(cos2α-sin2α)+2sinαcos2α
=sinα(1-2sin2α)+2sinα(1-sin2α)
=3sinα-4sin3α,
故①正确;
②对任意的△ABC都有$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R,
∴a=2RsinA
=2Rsin(B+C)
=2RsinBcosC+2RsinCcosB
=bcosC+ccosB,
故②正确;
③假设存在正整数k、k+1、k-1分别为三角形ABC的三边长,
且其对应的角分别为A、B、C,
∴$\frac{k+1}{sinB}$=$\frac{k}{sinA}$=$\frac{k-1}{sinC}$=2R,
∵B=2C,
∴sinB=sin2C=2sinCcosC,
∴$\frac{k+1}{2sinCcosC}$=$\frac{k-1}{sinC}$,即cosC=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{k-1}$,
又∵C<A<B,即C<A<2C,
∴36°<C<45°,
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$<cosC<$\frac{\sqrt{3}}{2}$,即$\frac{\sqrt{2}}{2}$<$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{k-1}$<$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$<$\frac{1}{k-1}$<$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$,
∴$\sqrt{3}$+1<k-1<$2\sqrt{2}+$2,
∴$\sqrt{3}$+2<k<$2\sqrt{2}+$3,
∴k=4或k=5,
经检验可知当k=5时不满足题意,
故③正确;
④∵A,B是钝角△ABC的二锐角,
∴A+B<90°,
∴0°<B<90°-A<90°,
∴sinB<sin(90°-A)=cosA,
同理cosA>cos(90°-B)=sinB,
∴sinA+sinB<cosA+cosB,
故④正确;
故选:A.

点评 本题考查命题的真假判断与应用,注意解题方法的积累,属于中档题.

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