Question

12．已知f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-mlnx  （m∈R）
（1）若函数f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，求函数f（x）在[1，e]上的最大，最小值；
（3）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，?f′（x）≥0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．利用二次函数的单调性即可得出；
（2）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出；
（3）先求出函数f（x）的导数，通过讨论m的范围，从而求出函数的单调区间．

解答 解：（1）若函数f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，
则f′（x）≥0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．                
而f′（x）=x-$\frac{m}{x}$，即m≤x²在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
可得m≤$\frac{1}{4}$．
（2）当m=2时，f′（x）=x-$\frac{2}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2}{x}$，
令f′（x）=0得x=±$\sqrt{2}$，
当x∈[1，$\sqrt{2}$）时，f′（x）＜0，当x∈（$\sqrt{2}$，e）时，f′（x）＞0．
故x=$\sqrt{2}$是函数f（x）在[1，e]上唯一的极小值点，
故f（x）_min=f（$\sqrt{2}$）=1-ln2，
又f（1）=$\frac{1}{2}$，f（e）=$\frac{1}{2}$e²-2=$\frac{{e}^{2}-4}{2}$＞$\frac{1}{2}$，
故f（x）_max=$\frac{{e}^{2}-4}{2}$；
（3）f′（x）=x-$\frac{m}{x}$，（x＞0），
当m≤0时，f′（x）＞0对x＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，
当m＞0时，令f′（x）=0，解得：x=$\sqrt{m}$，
∴0＜x＜$\sqrt{m}$时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x＞$\sqrt{m}$时，f′（x）＞0，f（x）递增．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．