Question

8．“函数f（x）=x|x-a|-b是奇函数”是“a=0且b=0”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 既不充分也不必要条件
• D． 充要条件

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义结合函数奇偶性 定义进行判断即可．

解答 解：∵函数函数f（x）=x|x-a|-b是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），且f（0）=0，
即-b=0，则b=0，
此时f（x）=x|x-a|
即-x|-x-a|=-x|x-a|，
即|x+a|=|x-a|，
平方得x²+2ax+a²=x²-2ax+a²，
即2ax=-2ax，
则2a=-2a，解得a=0，即充分性成立，
若a=0且b=0，则f（x）=x|x-a|-b=x|x|为奇函数，即必要性成立，
故“函数f（x）=x|x-a|-b是奇函数”是“a=0且b=0”的充要条件，
故选：D

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的定义是解决本题的关键．