Question

【题目】已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.

（i）当直线，的斜率都存在时，记直线，的斜率分别为，.求证：；

（ii）求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii）.

【解析】

（Ⅰ）把点代入椭圆方程，结合，，即可求得椭圆的标准方程.

（Ⅱ）（i）设点 ,写出切线方程，联立方程组，再由，结合韦达定理，写出的表达式，化简得出结果;

（ii）设点，，进而求得直线和的直线方程，结合两条直线的形式，可写出直线的方程，运用弦长公式求得，结合的范围，可求得的取值范围.

（Ⅰ）∵椭圆的左焦点，∴.

将代入，得.

又，∴，.

∴椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）（i）设点，设过点与椭圆相切的直线方程为.

由，消去，得.

.

令，整理得.

由已知，则.

又，∴.

（ii）设点，.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

由，消去，得.

.

令，整理得.

则.

∴直线的方程为.

化简，可得，即.

经验证，当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，也满足.

同理，可得直线的方程为.

∵在直线，上，∴，.

∴直线的方程为.

由，消去，得.

∴，.

∴

.

又由（i）可知当直线，的斜率都存在时，；易知当直线或斜率不存在时，也有.

∴为圆的直径，即.

∴.

又，∴.

∴的取值范围为.