题目内容
【题目】若存在与正实数
,使得
成立,则称函数
在
处存在距离为
的对称点,把具有这一性质的函数
称之为“
型函数”.
(1)设,试问
是否是“
型函数”?若是,求出实数
的值;若不是,请说明理由;
(2)设对于任意
都是“
型函数”,求实数
的取值范围.
【答案】(1)是,;(2)
.
【解析】
(1)假设函数是“
型函数”,由定义得出
,经过化简计算出正实数
的值即可;
(2)由题中定义得出,利用参变量分离法得出
,利用双勾函数的单调性求出
在
上的值域,即可得出实数
的取值范围.
(1)假设函数是“
型函数”,由定义得出
,
,由
,得
,
则有,
,化简得
,解得
.
因此,函数是“
型函数”;
(2)对于任意
都是“
型函数”,
则,
即,
化简得,即
,
由双勾函数的单调性可知,函数在
上是增函数.
当时,
,所以,
,解得
.
因此,实数的取值范围是
.
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