题目内容
【题目】如图,边长为的正方形
与梯形
所在的平面互相垂直,已知
,
,
,点
在线段
上.
(1)证明:平面平面
;
(2)判断点的位置,使得平面
与平面
所成的锐二面角为
.
【答案】(1)证明过程见详解;(2)点在线段
的靠近点
的三等分点处.
【解析】
(1)先由题中数据,根据勾股定理,得到,再由面面垂直的性质定理,得到
,根据线面垂直的判定定理,以及面面垂直的判定定理,即可证明结论成立;
(2)先在面内过点
作
,垂足为
,根据题意,得到
;
,以点
为坐标原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系,设
,因为点
在线段
上,所以可设
,得到
,再分别求出平面
与平面
的一个法向量,根据向量夹角公式,以及题中条件,即可求出结果.
(1)因为底面为梯形,
,
,所以
,
又,所以
,
因为,正方形
边长为
,
所以,因此
,
又因为平面平面
,
,平面
平面
,
所以平面
,因此
,
又,所以
平面
;
因为平面
,所以平面
平面
;
(2)在面内过点
作
,垂足为
,因为
,所以
;
又因为平面
,所以
;
以点为坐标原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
,
设,因为点
在线段
上,所以可设
,
即,
所以,即
,
设平面的一个法向量为
,
则,所以
,令
,则
,
又易知:平面
,所以
为平面
的一个法向量,
所以,
解得:,所以
,
即,点点在线段
的靠近点
的三等分点处.
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