题目内容
【题目】将数列的前
项分成两部分,且两部分的项数分别是
,若两部分和相等,则称数列
的前
项的和能够进行
等和分割.
(1)若,试写出数列
的前
项和所有等和分割;
(2)求证:等差数列的前
项的和能够进行
等和分割;
(3)若数列的通项公式为:
,且数列
的前
项的和能够进行等和分割,求所有满足条件的
.
【答案】(1)或
; (2)见解析; (3)
或
.
【解析】
(1)直接利用数列的通项公式分别计算出前四项的大小,再进行等和分割,即可求解;
(2)根据等差数列的性质可以得到,进而可以得出前
项与后
项的和相等;
(3)根据数列的通项公式求出前n项和,分别讨论或
时满足等和分割条件的结果.
(1)由题意,数列,
可得,
则或
.
(2)由数列为等差数列,所以
,
将上述个两式子分成两部分,可得其和是相等的,
所以等差数列的前
项的和能够进行
等和分割.
(3)数列的通项公式为:
,且数列
的前
项的和能够进行等和分割,
可得为偶数,所以
或
,
当时,由(2)可知,数列可以进行等和分割;
当时,可首先考虑
,
则可分割成两部分,所以
,
即时,前
项能进行等和分割,
当时,前
项为
,
由(2)可得能分成等和的两部分,
分别把两部分进行加入,可得两部分和相等,
即或
.
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