Question

已知直线l的方程为x=-2，且直线l与x轴交于点M，圆O：x²+y²=1与x轴交于A，B两点（如图）．
（1）过M点的直线l₁交圆于P、Q两点，且圆孤PQ恰为圆周的

1

4

，求直线l₁的方程；
（2）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由圆孤PQ为圆周的

1

4

可求得O点到直线l₁的距离为

2

2

，从而设l₁的方程为y=k（x+2），由点到直线的距离公式求直线方程即可；
（2）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，从而可得

a2

c

=2，由椭圆与圆O恰有两个不同的公共点可得b=1，从而求椭圆方程．

解答： 解：（1）∵圆孤PQ为圆周的

1

4

，
∴∠POQ=

π

2

，
∴O点到直线l₁的距离为

2

2

．
设l₁的方程为y=k（x+2），
∴

|2k|

k2+1

=

2

2

，
∴k2=

1

7

，
∴l₁的方程为y=±

7

7

(x+2)；
（2）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
半焦距为c，则

a2

c

=2，
∵椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则b=1．
∴b²+c²=2c，∴c=1，
∴a²=b²+c²=2．
∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．

点评：本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系及数形结合的数学思想应用，属于中档题．