题目内容
如图，设抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1、F2为焦点，离心率e=| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）当m=1时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，经过点F2的直线l与抛物线C1交于A1、A2，如果以线段A1A2为直径作圆，试判断抛物线C1的准线与椭圆C2的交点B1、B2与圆的位置关系；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得△PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）当m=1时，易知c=1，a=2，b=
；从而求椭圆方程及准线方程；
（Ⅱ）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R，与y2=4x联立可得y2-4ky-4=0；不妨取B1 (-1，
)，可求得
•
≥0，故点B1在圆上或圆外，故点B1、B2在圆上或圆外；
（Ⅲ）假设存在满足条件的实数m，通过第二定义可知三角形PF1F2的边长分别是
m ，
m ，
m，从而求出m即可．
| 3 |
（Ⅱ）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R，与y2=4x联立可得y2-4ky-4=0；不妨取B1 (-1，
| 3 |
| 2 |
| B1A1 |
| B1A2 |
（Ⅲ）假设存在满足条件的实数m，通过第二定义可知三角形PF1F2的边长分别是
| 5 |
| 3 |
| 6 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
解答：
解：（Ⅰ）当m=1时，F1（-1，0），F2（1，0），
故c=1，又由离心率e=
知，
a=2，故b=
；
则椭圆方程为
+
=1，
右准线方程为x=
=4；
（Ⅱ）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R，
将x=ky+1代入y2=4x得，
y2-4ky-4=0．
设A1（x1，y1），A2（x2，y2），
由韦达定理得y1+y2=4k，y1y2=-4．
由椭圆和抛物线的对称性，只要判断B1、B2中一点即可．
不妨取B1 (-1，
)，
∵
=(x1+1，y1-
)，
=(x2+1，y2-
)，
∴
•
=（x1+1）（x2+1）+（y1-
）（y2-
）
=x1x2+（x1+x2）+1+y1y2-
（y1+y2）+
=4k2-6k+
=4（k-
）2；
因为k∈R，于是
•
≥0，
即点B1在圆上或圆外，故点B1、B2在圆上或圆外．
（Ⅲ）假设存在满足条件的实数m，
由题设有c=m，a=2m，|F1F2|=2m．
又设|PF1|=r1，|PF2|=r2，
有r1+r2=2a=4m；
设P（x0，y0），
对于抛物线C1，r2=x0+m；
对于椭圆C2，
=e=
，
即r2=
(4m-x0)．
由x0+m=
(4m-x0)解得，x0=
m，
∴r2=
m，从而 r1=
m．
因此，三角形PF1F2的边长分别是
m ，
m ，
m．
所以m=3时，能使三角形PF1F2的边长是连续的自然数．
故c=1，又由离心率e=
| 1 |
| 2 |
a=2，故b=
| 3 |
则椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
右准线方程为x=
| a2 |
| c |
（Ⅱ）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R，
将x=ky+1代入y2=4x得，
y2-4ky-4=0．
设A1（x1，y1），A2（x2，y2），
由韦达定理得y1+y2=4k，y1y2=-4．
由椭圆和抛物线的对称性，只要判断B1、B2中一点即可．
不妨取B1 (-1，
| 3 |
| 2 |
∵
| B1A1 |
| 3 |
| 2 |
| B1A2 |
| 3 |
| 2 |
∴
| B1A1 |
| B1A2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
=x1x2+（x1+x2）+1+y1y2-
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
=4k2-6k+
| 9 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
因为k∈R，于是
| B1A1 |
| B1A2 |
即点B1在圆上或圆外，故点B1、B2在圆上或圆外．
（Ⅲ）假设存在满足条件的实数m，
由题设有c=m，a=2m，|F1F2|=2m．
又设|PF1|=r1，|PF2|=r2，
有r1+r2=2a=4m；
设P（x0，y0），
对于抛物线C1，r2=x0+m；
对于椭圆C2，
| r2 | ||
|
| 1 |
| 2 |
即r2=
| 1 |
| 2 |
由x0+m=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
∴r2=
| 5 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
因此，三角形PF1F2的边长分别是
| 5 |
| 3 |
| 6 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
所以m=3时，能使三角形PF1F2的边长是连续的自然数．
点评：本题考查了圆锥曲线的位置关系的应用，应用到了韦达定理及向量，化简很困难，属于难题．
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正四面体棱长为1，其外接球的表面积为（ ）
A、
| ||
| B、π | ||
C、
| ||
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