题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)C：的左右焦点为F1，F2，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，且
AM
=
3
4
AB

（1）计算椭圆的离心率e
（2）若直线l向右平移一个单位后得到l′，l′被椭圆C截得的弦长为
5
4
，则求椭圆C的方程．
（1）y=ex+a，∴A（-
a
e
，0），B（0，a）
由
y=ex+a
x2
a2
+
y2
b2
=1
，∴
x=-c
y=
b2
a
∴M（-c，
b2
a
），由
AM
=
3
4
AB
，得
（-c+
a
e
，
b2
a
）=
3
4
（
a
e
，a），即
a
e
-c=
3
4
a
e
b2
a
=
3
4
a
∴e2=1-
3
4
=
1
4
，∴e=
1
2

（2）∵e=
1
2
，设椭圆的方程为3x2+4y2=3a2，l：y=
1
2
x-
1
2
+a
即
3x2+4y2=3a2
y=
1
2
x-
1
2
+a
消y，得4x2+（4a-2）x+a2-4a+1=0．设l交椭圆于B（x1，y1），C（x2，y2）
∴x1+x2=-
4a-2
4
，x1x2=
a2-4a+1
4


∴l=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
5
4
12a-3
4
=
5
4

∴a=
2
3
∴椭圆的方程为
x2
4
9
+
y2
1
3
=1
练习册系列答案
相关题目
（1）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6．求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B．求实数k的取值范围．
如图，抛物线顶点在原点，圆x2+y2=4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l交抛物线与圆依次为A、B、C、D四点．

（1）求抛物线的方程．
（2）求|AB|+|CD|的值．
椭圆
x2
2
+
y2
=1上的点到直线2x-y=7距离最近的点的坐标为（　　）
A．（-
4
3
，
1
3
）		B．（
4
3
，-
1
3
）		C．（-
4
3
，
17
3
）		D．（
4
3
，-
17
3
）
若直线y=kx+1与曲线x=
1-4y2
有两个不同的交点，则k的取值范围是______．
已知点P是圆F1：(x+
3
)2+y2=16上任意一点，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线与PF1交于M点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK=KQ，连接AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．
双曲线E的渐近线方程为y=±
4
3
x，且经过点(2
3
，
4
3
3
)
（1）求双曲线E的方程；
（2）F1，F2为双曲线E的两个焦点，P为双曲线上一点，若|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．
如图所示，F1，F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F1，F2两点的距离之和为4且b=
3
．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于A，B两点．
（1）求证：直线l与双曲线C只有一个公共点；
（2）设直线l与双曲线C的公共点为M，且
AM
=λ
AB
，证明：λ+e2=1；
（3）设P是点F1关于直线l的对称点，当△PF1F2为等腰三角形时，求e的值．

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